微分、積分的計算與應用

📝 歷屆考古題

• 113年 普考申論題 第一題
  lim n→∞ Σ_{k=1}^n (2k/n^2) sin(kπ/2n)
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• 113年 普考申論題 第二題
  lim x→∞ (1/x^{2.01}) ∫_0^{x^2} ln(t^2 + 1) dt
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• 113年 普考申論題 第四題
  令 D = {(x, y) | 0 ≤ 3x + 4y ≤ 2, 0 ≤ 3x - 4y ≤ 2}，試計算下列重積分的值：∬_D (9x^2 + 16y^2) dx dy。（25 分）
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• 112年 普考申論題 第一題
  求 ∫₀² xe^{2x} dx 之值。（15分）
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• 112年 普考申論題 第二題
  求重積分 ∫₀¹ ∫₀^{√(1-x²)} √(x² + y²) dy dx 之值。（15分）
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• 110年 普考申論題 第一題
  一、求積分之近似解：（20 分） 積分 A(x) = \int_0^$\infty \frac{e^{-t}}{x^2 + t} dt$，其中 x^2 為很大的數值，求 A(x)之前兩項並估計誤差之數…
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• 110年 普考申論題 第一題
  $\frac{d(\sin^{-1} x)}{dx}$（10 分）
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• 110年 普考申論題 第一題
  寫出 P 點在任何時間 t 之坐標。（10 分）
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• 110年 普考申論題 第二題
  \int \sin^{-1} x dx （10 分）
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• 110年 普考申論題 第二題
  寫出 P 點在任何時間 t 之速度。（10 分）
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• 110年 普考申論題 第三題
  若 U＝V，求 P 點轉一圈的軌跡長度。（20 分）
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• 110年 普考申論題 第四題
  四、面積分，函數f (x) = sin(x) ，g(x) = cos(x) ，如圖所示。 求兩函數在灰色區域之面積。（20 分）
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• 108年 普考申論題 第二題
  二、計算雙重積分值：（25 分） ∫₀¹ ∫√y¹ 1/√(1 + x³) dxdy
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• 108年 普考申論題 第二題
  現在假設初始值 P₀ 為任一正數，請說明此時的 P(t) 在 t → ∞ 會趨近於什麼值？這個趨近值跟 P₀ 有沒有關係？（10 分）
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• 108年 普考申論題 第三題
  三、設曲線 L = {(x, sin x) : x ∈ [0, π/2]}，請求出 L 繞 x 軸一圈所產生的曲面的面積。（25 分）
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• 107年 普考申論題 第一題
  求 lim_{n→∞} (1 + 1/(2n))^{4n} 。（15 分）
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• 107年 普考申論題 第一題
  ∫_0^2 1 / (x^2 - 3x - 10) dx。
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• 107年 普考申論題 第二題
  ∬_R xy^2 dA，其中 R = {(x, y) | 1 ≤ x^2 + y^2 ≤ 4, x ≥ 0}。
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• 106年 普考申論題 第一題
  敘述級數積分檢定法（integral test for series）。
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• 106年 普考申論題 第二題
  二、試畫出兩函數 y = x^3 + 2x^2 與 y = 3x 之圖形於同一座標圖上，並求被此兩函數圍住區域的面積。（20 分）
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• 106年 普考申論題 第二題
  利用此檢定法，證明 \sum_{k=1}^$\infty 1/k^2$收斂，且其收斂值小於 2。
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• 106年 普考申論題 第五題
  五、求二重積分 \int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx。（20 分）
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• 105年 普考申論題 第一題
  一、求適當的實數a和b滿足下列極限等式 \lim_{x \to 1} $\frac{\sqrt{ax+b}-3}{x-1} = 1$。 （15 分）
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• 105年 普考申論題 第一題
  lim_{x -> 1^+} (1/ln x - 1/(x-1))。(15 分)
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• 105年 普考申論題 第一題
  ∫ (5x^2 + 20x + 6) / (x^3 + 2x^2 + x) dx。(15 分)
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• 105年 普考申論題 第一題
  $\int \frac{x^2}{\sqrt{9-x^2}} dx$
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• 105年 普考申論題 第二題
  d^3/dx^3 ln|2x+1|。(15 分)
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• 105年 普考申論題 第二題
  ∫_0^π ∫_0^{sin x} (1 + cos x) dy dx。(15 分)
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• 105年 普考申論題 第二題
  $\int e^{2x} \cos 3x dx$
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• 105年 普考申論題 第四題
  四、假設一個xyz空間實體（solid）D 是由兩個圓柱 $x^2 + y^2 \le 1$ 及 $x^2 + z^2 \le 1$ 所交集出來的空間區域。求此實體 D 的體積為何。（20 分）
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